次の計算をしなさい。
(1) $-15x^2y \div (-\frac{3}{4}xy)$
(2) $10a^3b^2 \div \frac{5}{2}a \times (-3b)$
(3) $\frac{1}{3}(2x – y) + \frac{2}{5}(-x – 3y)$
(4) $\frac{3a + 5b}{3} – \frac{a + 7b}{4}$
解答と解説
(1)
答え: $20x$ 解説: 分数の割り算は、逆数（分母と分子をひっくり返したもの）の掛け算に直して計算します。 割る数 $(-\frac{3}{4}xy)$ は $(-\frac{3xy}{4})$ のことなので、その逆数は $(-\frac{4}{3xy})$ です。 $$-15x^2y \div (-\frac{3xy}{4})$$ $$= -15x^2y \times (-\frac{4}{3xy})$$ 符号はマイナス×マイナスでプラスになります。分数の形にして約分すると、 $$= \frac{15x^2y \times 4}{3xy}$$ 数字の部分は $\frac{15 \times 4}{3} = 20$、文字の部分は $\frac{x^2y}{xy} = x$ となります。 よって答えは $20x$ です。
(2)
答え: $-12a^2b^3$ 解説: 割り算と掛け算が混在する式は、前から順番に計算するのがルールです。 まず、前半の割り算 $10a^3b^2 \div \frac{5}{2}a$ を計算します。 $$10a^3b^2 \div \frac{5a}{2}$$ $$= 10a^3b^2 \times \frac{2}{5a}$$ $$= \frac{10a^3b^2 \times 2}{5a} = 4a^2b^2$$ 次に、この結果に $(-3b)$ を掛けます。 $$4a^2b^2 \times (-3b) = \bf{-12a^2b^3}$$
(3)
答え: $\frac{4}{15}x – \frac{23}{15}y$ 解説: まず、分配法則を使ってカッコを外します。 $$\frac{1}{3}(2x – y) + \frac{2}{5}(-x – 3y)$$ $$= \frac{2}{3}x – \frac{1}{3}y – \frac{2}{5}x – \frac{6}{5}y$$ 次に、$x$の項と$y$の項（同類項）をそれぞれまとめます。分数の足し算・引き算なので通分が必要です。
- $x$の項: $\frac{2}{3}x – \frac{2}{5}x = (\frac{10}{15} – \frac{6}{15})x = \frac{4}{15}x$
- $y$の項: $-\frac{1}{3}y – \frac{6}{5}y = (-\frac{5}{15} – \frac{18}{15})y = -\frac{23}{15}y$ よって答えは $\frac{4}{15}x – \frac{23}{15}y$ となります。
(4)
答え: $\frac{9a – b}{12}$ 解説: 分母が3と4なので、最小公倍数の12に通分します。 $$\frac{4(3a + 5b)}{12} – \frac{3(a + 7b)}{12}$$ 分母が揃ったので、分子を一つにまとめます。このとき、後ろの分子全体にマイナスがかかるので、カッコを付けるのが非常に重要です。 $$= \frac{4(3a + 5b) – 3(a + 7b)}{12}$$ 分子のカッコを分配法則で外します。 $$= \frac{12a + 20b – 3a – 21b}{12}$$ 分子の同類項をまとめます。 $$= \bf{\frac{9a – b}{12}}$$
