次の連立方程式を解きなさい。
(1) $$\begin{cases} 6x+4y=2 \cdots ① \ 5x-3y=27 \cdots ② \end{cases}$$
(2) $$\begin{cases} x+y=3 \cdots ① \ 0.2x-0.1y=0.3 \cdots ② \end{cases}$$
(3) $$\begin{cases} 3x+2y=7 \cdots ① \ \frac{x-1}{4}=x+y \cdots ② \end{cases}$$
(4) $2x-y = 4x+3y = 10$
解答と解説
(1)
答え: $(x, y) = (3, -4)$ 解説: この問題は、$x$か$y$のどちらかの係数を揃えるために、両方の式を何倍かする必要があります。ここでは$y$の係数を12に揃えてみましょう。
- ①式を3倍する: $18x + 12y = 6 \cdots ①’$
- ②式を4倍する: $20x – 12y = 108 \cdots ②’$
これで$y$の係数が$+12$と$-12$になったので、①’式と②’式を足し合わせます。
18x + 12y = 6
+) 20x - 12y = 108
--------------------
38x = 114$$x = 3$$ これを①式に代入すると、$6(3)+4y=2$となり、$18+4y=2$、$4y=-16$、$y=-4$です。
(2)
答え: $(x, y) = (2, 1)$ 解説: ②式に小数があるので、まず両辺を10倍して整数に直します。 $$10 \times (0.2x – 0.1y) = 10 \times 0.3$$ $$2x – y = 3 \cdots ②’$$これで、扱う連立方程式は以下のように簡単になります。$$\begin{cases} x+y=3 \cdots ① \ 2x-y=3 \cdots ②’ \end{cases}$$①式と②’式を足すと、$y$が消去できます。$$(x+y) + (2x-y) = 3+3$$$$3x = 6$$$$x = 2$$ これを①式に代入すると、$2+y=3$ となり、$y=1$です。
(3)
答え: $(x, y) = (5, -4)$ 解説: ②式に分数があり、形も整っていません。まず②式を整理することから始めます。 両辺を4倍して分母をなくします。 $$x – 1 = 4(x+y)$$ $$x – 1 = 4x + 4y$$$x$と$y$の項を左辺に、数字の項を右辺にまとめます。$$x – 4x – 4y = 1$$ $$-3x – 4y = 1 \cdots ②’$$これで、解くべき連立方程式は以下のようになります。$$\begin{cases} 3x+2y=7 \cdots ① \ -3x-4y=1 \cdots ②’ \end{cases}$$①式と②’式を足すと、$x$が消去できます。$$(3x+2y) + (-3x-4y) = 7+1$$$$-2y = 8$$$$y = -4$$ これを①式に代入すると、$3x+2(-4)=7$となり、$3x-8=7$、$3x=15$、$x=5$です。
(4)
答え: $(x, y) = (4, -2)$
解説:
「A = B = C」という形の式は、**「A = C」と「B = C」**のように、3つのうち2つのペアを選んで連立方程式を作ります。Cが単純な数字10なので、これと組み合わせるのが最も簡単です。
- 1つ目の式: $2x-y=10 \cdots ①$
- 2つ目の式: $4x+3y=10 \cdots ②$
この連立方程式を解きます。①式を3倍して$y$の係数を揃えましょう。 $$6x – 3y = 30 \cdots ①’$$①’式と②式を足します。$$(6x-3y) + (4x+3y) = 30 + 10$$$$10x = 40$$$$x = 4$$ これを①式に代入すると、$2(4)-y=10$となり、$8-y=10$、$-y=2$、$y=-2$です。
