【問題】
次の関数のグラフをかけ。
(1) $$y = |x| + |x-1|$$
(2) $$y = |x+1| – |x-2|$$
【解答】
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(1) $x<0$ のとき $y=-2x+1$ $0 \le x < 1$ のとき $y=1$ $1 \le x$ のとき $y=2x-1$ となる、底が平らな器のような形のグラフ。
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(2) $x<-1$ のとき $y=-3$ $-1 \le x < 2$ のとき $y=2x-1$ $2 \le x$ のとき $y=3$ となる、2つの階段を坂道でつないだような形のグラフ。
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、絶対値記号が2つ以上ある関数のグラフの書き方を解説します 📉。 「絶対値が2つもあると、どうやって場合分けすればいいの？」と戸惑うかもしれませんが、考え方はシンプルです。 **「絶対値の中身が0になる瞬間」**を境界線にして、数直線全体をいくつかのエリアに分けてあげるだけです。 パズルを解くように、一つずつ場合分けをしてグラフを完成させていきましょう！
各問題の解説
考え方のポイント
絶対値記号が複数あるときは、数直線を書いてエリア分けをするのが鉄則です。
- 境界線を見つける: それぞれの絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値を見つけます。
- エリアを分ける: その値で数直線を区切り、範囲（エリア）を作ります。
- 符号をチェック: 各エリアで、それぞれの絶対値の中身が「プラス」か「マイナス」かを確認し、式を作ります。
(1) $y = |x| + |x-1|$
詳しい解説:
ステップ1：境界線を見つける
- $|x|$ の中身が0になるのは $x=0$
- $|x-1|$ の中身が0になるのは $x=1$ よって、境界線は $x=0$ と $x=1$ です。
ステップ2：エリアごとに式を作る 数直線を $0$ と $1$ で区切ると、3つのエリアができます。
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(i) $x < 0$ のとき（左側のエリア）
- $x$ は負なので、 $|x| = -x$
- $x-1$ も負なので、 $|x-1| = -(x-1)$ よって、 $$y = -x – (x-1) = -2x + 1$$
-
(ii) $0 \le x < 1$ のとき（真ん中のエリア）
- $x$ は正なので、 $|x| = x$
- $x-1$ はまだ負なので、 $|x-1| = -(x-1)$ よって、 $$y = x – (x-1) = 1$$ （なんと、$y=1$ という横一直線のグラフになります！）
-
(iii) $1 \le x$ のとき（右側のエリア）
- $x$ は正なので、 $|x| = x$
- $x-1$ も正になるので、 $|x-1| = x-1$ よって、 $$y = x + (x-1) = 2x – 1$$
ステップ3：グラフを描く 3つの式をつなぎ合わせて描きます。
- $x < 0$ では、傾き-2の急な下り坂
- $0 \le x < 1$ では、高さ1の平らな道
- $1 \le x$ では、傾き2の急な上り坂
(2) $y = |x+1| – |x-2|$
詳しい解説:
ステップ1：境界線を見つける
- $|x+1|$ が0になるのは $x=-1$
- $|x-2|$ が0になるのは $x=2$ よって、境界線は $x=-1$ と $x=2$ です。
ステップ2：エリアごとに式を作る
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(i) $x < -1$ のとき
- $x+1$ は負 $\to -(x+1)$
- $x-2$ は負 $\to -(x-2)$ 元の式の真ん中が「引き算」であることに注意して計算します。 $$y = -(x+1) – {-(x-2)}$$ $$y = -x – 1 + x – 2 = -3$$ （ずっと $y=-3$ の横線です）
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(ii) $-1 \le x < 2$ のとき
- $x+1$ は正 $\to (x+1)$
- $x-2$ は負 $\to -(x-2)$ $$y = (x+1) – {-(x-2)}$$ $$y = x + 1 + x – 2 = 2x – 1$$
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(iii) $2 \le x$ のとき
- $x+1$ は正 $\to (x+1)$
- $x-2$ は正 $\to (x-2)$ $$y = (x+1) – (x-2)$$ $$y = 3$$ （ずっと $y=3$ の横線です）
ステップ3：グラフを描く
- 左側はずっと高さ-3
- 真ん中は $( -1, -3 )$ から $( 2, 3 )$ へ向かう上り坂
- 右側はずっと高さ3
絶対値が2つあるグラフのまとめ
- 絶対値の中身が $0$ になる $x$ の値 を見つけて、場合分けの境界線にします。
- 各エリアで「中身がプラスかマイナスか」を判定し、丁寧に絶対値を外します（符号のミスに注意！）。
- 出来上がった式をつなぎ合わせると、折れ線グラフが完成します。
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今回の「絶対値が2つある関数のグラフ」、描けるようになりましたか？😊 「場合分けの境目で $=$ はどっちにつけるの？」 「引き算のときの符号変えでミスしちゃう…」 そんな疑問や不安が少しでも残っていたら、ぜひスマスク先生のLINE公式アカウントに気軽に質問してみてください！
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