【問題】 整式の割り算と剰余の定理
まずは、今回の問題文を確認しましょう。
$$ \quad \text{(1) 整式 } P\left( x \right) \text{ を } 2x^2 + 9x – 5 \text{ で割ると余りが } 3x + 5 \text{ で、} x – 2 \text{ で割ると} $$$$ \text{余りが } -3 \text{ のとき、} P\left( x \right) \text{ を } x^2 + 3x – 10 \text{ で割った余りを求めよ。} $$$$ \text{(2) 整式 } x^{2011} \text{ を } x^2 + 1 \text{ で割った余りを求めよ。} $$
【重要：学習の効果を最大化するために】
解説を読む前に、まずは自分自身の力でペンを動かして解いてみてください。 「剰余の定理」や「恒等式」の考え方を使います。特に(2)のような次数の高い問題は、初見で解けると大きな自信になりますよ。
…解けましたか？あるいは、手が止まってしまいましたか？ それでは、思考のプロセスから丁寧に解説していきます。
ちゃんと自分の力で解いてみましたか？
【解説】 剰余の定理と次数の処理
こんにちは、スマスクの数学講師です。
今回は「整式の割り算」に関する入試標準レベルの問題です。 この単元は、「割り算の基本等式」 を自分で正しく立てられるかどうかがすべての鍵を握っています。
$$ \text{（割られる式）} = \text{（割る式）} \times \text{（商）} + \text{（余り）} $$この式を作って、「割る式が $0$ になるような $x$ の値」を代入する。これが基本戦略です。 最難関大の入試でも、この基本動作の徹底が合否を分けます。
(1) 2次式で割った余りの決定
まずは問題の情報を整理しましょう。 求める余りは、2次式 $x^2 + 3x – 10$ で割った余りなので、1次式以下になります。つまり、$ax + b$ と置けますね。
まず、基本等式を立てます。商を $Q\left( x \right)$ とおきます。
$$P\left( x \right) = \left( x^2 + 3x – 10 \right) Q\left( x \right) + ax + b \quad \cdots \text{①} $$ここで、割る式 $x^2 + 3x – 10$ を因数分解すると、
$$ x^2 + 3x – 10 = \left( x + 5 \right)\left( x – 2 \right) $$となります。つまり①式はこうなります。
$$P\left( x \right) = \left( x + 5 \right)\left( x – 2 \right) Q\left( x \right) + ax + b $$未知数 $a, b$ を求めるには、$P\left( -5 \right)$ と $P\left( 2 \right)$ の値がわかれば連立方程式に持ち込めそうですね。ここで問題文のヒントを使います。
ヒント1： $x – 2$ で割ると余りが $-3$ 剰余の定理より、これはズバリ以下のことを意味します。
$$ P\left( 2 \right) = -3 \quad \cdots \text{②} $$ヒント2： $2x^2 + 9x – 5$ で割ると余りが $3x + 5$ 割る式 $2x^2 + 9x – 5$ を因数分解してみましょう。たすき掛けを使うと、
$$2x^2 + 9x – 5 = \left( 2x – 1 \right)\left( x + 5 \right) $$おっと！ここに $(x + 5)$ が隠れていましたね。これに気づけるかが勝負です。 商を $Q_1\left( x \right)$ とおいて等式を作ると、
$$ P\left( x \right) = \left( 2x – 1 \right)\left( x + 5 \right) Q_1\left( x \right) + 3x + 5 $$この式の両辺に $x = -5$ を代入すると、前半部分が $0$ になって消えます。
$$P\left( -5 \right) = 0 + 3\left( -5 \right) + 5 = -15 + 5 = -10 $$つまり、
$$ P\left( -5 \right) = -10 \quad \cdots \text{③} $$これで必要な材料（②と③）が揃いました。①式に代入して計算しましょう。
- $x = 2$ を代入：
$$2a + b = -3 $$
- $x = -5$ を代入： $$ $$$$-5a + b = -10 $$ $$$$ この連立方程式を解きます。 上の式から下の式を引くと、
$$ \left( 2 – \left( -5 \right) \right)a = -3 – \left( -10 \right) $$$$ 7a = 7 \implies a = 1 $$$a = 1$ を上の式に戻して、
$$2\left( 1 \right) + b = -3 \implies b = -5 $$よって求める余りは $x – 5$ です。
(2) 高次式の割り算
次は $x^{2011}$ という凄まじい次数の式を $x^2 + 1$ で割ります。 まともに割り算をしていては日が暮れてしまいますね。ここでも基本等式を使います。 割る式が2次式なので、余りは $ax + b$ とおけます。商を $Q\left( x \right)$ とします。
$$ x^{2011} = \left( x^2 + 1 \right) Q\left( x \right) + ax + b $$ここでのポイントは、「$x^2 + 1 = 0$ になるような数を代入したい」 ということです。 $x^2 = -1$ となる数、つまり虚数単位 $i$ （または $x^2 = -1$ という性質そのもの）を使います。
解法：虚数単位 $i$ を代入する
$x = i$ を両辺に代入します。$i^2 + 1 = 0$ なので、右辺の商の部分が消えます。
$$i^{2011} = a i + b $$ここで左辺の $i^{2011}$ を簡単にしましょう。$i$ は4乗すると1に戻る周期性を持ちます。
$$ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 $$指数 2011 を 4 で割ってみます。
$$2011 \div 4 = 502 \quad \text{余り } 3 $$つまり、
$$ i^{2011} = \left( i^4 \right)^{502} \times i^3 = 1^{502} \times \left( -i \right) = -i $$これを元の式に戻すと、
$$-i = a i + b $$$$ 0 + \left( -1 \right)i = b + ai $$$a, b$ は実数なので、複素数の相等（実部と虚部の比較）により、
$$ \text{実部：} b = 0 $$$$ \text{虚部：} a = -1 $$よって求める余りは $-x$ となります。
【解答】
(1)
$$P\left( x \right) \text{ を } x^2 + 3x – 10 = \left( x + 5 \right)\left( x – 2 \right) \text{ で割った商を } Q\left( x \right) \text{、余りを } ax + b \text{ とおくと、} $$$$ P\left( x \right) = \left( x + 5 \right)\left( x – 2 \right)Q\left( x \right) + ax + b \quad \cdots ① $$$$ \text{条件より } P\left( x \right) \text{ を } x – 2 \text{ で割った余りが } -3 \text{ なので、} P\left( 2 \right) = -3 $$$$ \text{また、} P\left( x \right) \text{ を } 2x^2 + 9x – 5 = \left( 2x – 1 \right)\left( x + 5 \right) \text{ で割った余りが } 3x + 5 \text{ なので、} $$$$ P\left( -5 \right) = 3\left( -5 \right) + 5 = -10 $$$$ \text{①に } x = 2, x = -5 \text{ をそれぞれ代入すると、} $$$$ \begin{cases} 2a + b = -3 \ -5a + b = -10 \end{cases} $$$$ \text{これを解いて、} a = 1, b = -5 $$$$ \text{よって、求める余りは } x – 5 $$(2)
$$ x^{2011} \text{ を } x^2 + 1 \text{ で割った商を } Q\left( x \right) \text{、余りを } ax + b \text{ とおくと、} $$$$ x^{2011} = \left( x^2 + 1 \right)Q\left( x \right) + ax + b $$$$ x = i \text{（虚数単位）を代入すると、} i^2 + 1 = 0 \text{ より、} $$$$ i^{2011} = ai + b $$$$ \text{ここで、} 2011 = 4 \times 502 + 3 \text{ より、} $$$$ i^{2011} = \left( i^4 \right)^{502} \times i^3 = 1 \times \left( -i \right) = -i $$$$ \text{よって、} -i = bi + a \text{ となるので、複素数の相等より} $$$$ a = -1, \quad b = 0 $$$$ \text{よって、求める余りは } -x $$
まとめ & 整式の割り算ポイント
- 基本等式を作る: $P(x) = (\text{割る式}) \times (\text{商}) + (\text{余り})$ を必ず書くことからスタートです。
- 割る式を因数分解: $(x-\alpha)(x-\beta)$ の形にして、代入すべき $x$ の値を見つけましょう。
- 「隠れた条件」を見逃さない: (1)のように、別の条件式から $P(-5)$ の値を導き出すような「ワンクッション」ある問題は頻出です。
- 高次式は周期性を利用: $x^2+1$ で割るなら $x=i$、$x^2-1$ で割るなら $x=\pm 1$ など、式の値を $0$ にする数を代入して次数を下げましょう。
【解き直しのすすめ】 「わかったつもり」が一番怖い
解説を読んで「なるほど、因数分解して代入するだけか」と思いましたか？
実は、多くの生徒が**テスト本番で躓くのは「計算の途中」**なんです。「連立方程式の符号を間違えた」「$i$ の計算で混乱した」といったミスが非常に多い。
特に(2)の $i$ の周期性の計算は、頭でわかっていても実際に手を動かさないと身につきません。
今すぐこの画面を閉じて、白い紙に「問題文だけ」を見て解答を再現できるかチャレンジしてください。途中でペンが止まらずに最後まで書ききれたら、その知識は本物です。
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