【問題】
練習問題
問1 3個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は1の目が出る確率を求めよ。
問2 5枚のコインを同時に投げるとき、少なくとも1枚は表が出る確率を求めよ。
問3 1から10までの番号札10枚の中から、同時に2枚を取り出すとき、2枚の札の積が偶数になる確率を求めよ。
問4 3個のさいころを同時に投げるとき、目の積が4の倍数にならない確率を求めよ。
問5 赤玉4個、白玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉が含まれる確率を求めよ。
問6 大小2個のさいころを同時に投げるとき、目の和が4以上になる確率を求めよ。
【解答】
- 問1: $\frac{91}{216}$
- 問2: $\frac{31}{32}$
- 問3: $\frac{7}{9}$
- 問4: $\frac{3}{8}$
- 問5: $\frac{4}{5}$
- 問6: $\frac{11}{12}$
導入
こんにちは、スマスクです！ この記事では、確率の計算で非常に便利な**「余事象」を使った解き方を、6つの練習問題を通して解説します ✏️。 「少なくとも〜」や「〜でない」といった言葉が出てきたら、それは余事象を使うサインかもしれません。正面から数えるのが大変なときは、「じゃない方」の確率**を求めて1から引く！このテクニックをマスターして、確率の問題を得意分野にしましょう！
各問題の解説
考え方のポイント
余事象の確率は、$1 – (\text{条件に合わない場合の確率})$ で求められます。 どの問題も、「条件に合う場合を直接数えるのと、余事象を数えるのと、どちらが楽か？」を考えることが大切です。
問1：3個のさいころで少なくとも1個は1
詳しい解説: 「少なくとも1個は1」の余事象は、**「3個とも1以外が出る（2〜6が出る）」**ことです。
ステップ1：余事象の確率を求める 1個のさいころで1以外が出る確率は $\frac{5}{6}$ です。 3個とも1以外が出る確率は、 $$\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$$
ステップ2：1から引く $$1 – \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$$
答え: $\frac{91}{216}$
問2：5枚のコインで少なくとも1枚は表
詳しい解説: 「少なくとも1枚は表」の余事象は、**「5枚とも裏が出る」**ことです。
ステップ1：余事象の確率を求める 1枚のコインで裏が出る確率は $\frac{1}{2}$ です。 5枚とも裏が出る確率は、 $$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$$
ステップ2：1から引く $$1 – \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$$
答え: $\frac{31}{32}$
問3：2枚の積が偶数
詳しい解説: 積が偶数になるのは、「偶数×偶数」または「偶数×奇数」のときです。 これらを数えるのは少し大変なので、余事象である**「積が奇数（＝2枚とも奇数）」**を考えます。
ステップ1：余事象の確率を求める 1〜10のカードのうち、奇数は1, 3, 5, 7, 9の5枚です。 10枚から2枚選ぶ全事象は $_10C_2 = 45$ 通り。 奇数5枚から2枚選ぶ場合の数は $_5C_2 = 10$ 通り。 よって、2枚とも奇数になる確率は $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$ です。
ステップ2：1から引く $$1 – \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$
答え: $\frac{7}{9}$
問4：目の積が4の倍数にならない
詳しい解説: 「4の倍数にならない」ということは、積が「奇数」または「偶数だが4の倍数ではない（2, 6, 10, …）」場合です。 これらを直接数える方が楽かどうか悩みますが、ここでは「4の倍数になる」余事象を引くよりも、「4の倍数にならない」条件を整理して直接数える方が早い場合があります。 しかし、この問題は余事象の練習なので、余事象「積が4の倍数になる」を求めて…と考えると逆に複雑になります。 実は、「4の倍数にならない」は以下の2パターンしかありません。
- 3個とも奇数: 積は奇数になります。
- 3個のうち1個だけが2か6で、残りが奇数: 積は2の倍数ですが、4の倍数にはなりません。
ステップ1：それぞれの確率を求める
- パターン1（全部奇数）: 奇数が出る確率は $\frac{1}{2}$ なので、 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ 。
- パターン2（2か6が1個、奇数が2個）: 3個のさいころのうち、どれが「2か6」になるかで $_3C_1 = 3$ 通り。 「2か6」が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、奇数が出る確率は $\frac{1}{2}$。 よって、 $3 \times \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ 。
ステップ2：合計する $$\frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$$
答え: $\frac{3}{8}$
問5：少なくとも1個は白玉
詳しい解説: 「少なくとも1個は白」の余事象は、**「3個とも赤玉が出る」**ことです。
ステップ1：余事象の確率を求める 袋の中は赤4、白2の計6個です。 6個から3個選ぶ全事象は $_6C_3 = 20$ 通り。 赤4個から3個選ぶ場合の数は $_4C_3 = 4$ 通り。 よって、3個とも赤になる確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ です。
ステップ2：1から引く $$1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
答え: $\frac{4}{5}$
問6：目の和が4以上
詳しい解説: 目の和の最小値は $1+1=2$ です。「4以上」の場合を数えるのは大変（4, 5, …, 12）なので、余事象である**「和が3以下（2または3）」**を数えます。
ステップ1：余事象の確率を求める 大小2個のさいころの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通り。 和が3以下になるのは、以下の3通りです。
- 和が2: (1, 1)
- 和が3: (1, 2), (2, 1)
よって、余事象の確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ です。
ステップ2：1から引く $$1 – \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$$
答え: $\frac{11}{12}$
余事象のまとめ
- 確率の問題で「少なくとも」や「〜でない」を見たら、まずは**余事象（逆のパターン）**を考えましょう。
- 「すべて〜である」や「和が小さい数」など、余事象の方が数えるパターンが圧倒的に少ない場合が多いです。
- 全体の確率 $1$ から余事象の確率を引くことで、求めたい確率が計算できます。
ただし、問4のように、余事象を考えるよりもパターン分けして直接求めた方が分かりやすい場合もあります。柔軟に使い分けるのがポイントです！
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