2つの袋A, Bがあり, 袋Aの中には $\boxed{1}, \boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{2}$ の合計4枚のカード, 袋Bの中には $\boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{3}, \boxed{3}$ の合計4枚のカードが入っている。袋Aと袋Bからカードを1枚ずつ取り出し, 袋Aから取り出したカードに書かれている数を $a$, 袋Bから取り出したカードに書かれている数を $b$ とする。
(1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。 (2) $a+b=3$ となる確率を求めよ。また, $a+b$ の期待値を求めよ。
この記事では、2つの袋からカードを引く設定を通じて、基本的な確率の計算方法と期待値の求め方について解説します。 確率の計算では「積の法則」と「和の法則」を、期待値の計算では「確率分布表」を用いた定義通りの計算方法を確認していきます。
小問と答え (1) $a+b=2$ となる確率を求めよ。 答え: $\frac{1}{8}$
詳しい解説 まず、それぞれの袋から特定の数字を引く確率を整理します。
ステップ1：条件に合う組み合わせを考える 和が2になるのは、$a=1$ かつ $b=1$ の場合のみです。
ステップ2：確率を計算する 袋Aから引く事象と袋Bから引く事象は互いに独立なので、両方が同時に起こる確率はそれぞれの確率の掛け算（積の法則）で求められます。 $$P(a=1 \text{ and } b=1) = P(a=1) \times P(b=1)$$ $$= \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \bf{\frac{1}{8}}$$
答え: $\frac{1}{4}$
詳しい解説 ステップ1：条件に合う組み合わせを考える 和が3になるのは、以下の2つのパターンが考えられます。
ステップ2：各パターンの確率を計算する
ステップ3：確率を合計する パターンAとパターンBは同時には起こらない（互いに排反な）事象なので、求める確率は両者の確率の足し算（和の法則）で求められます。 $$P(a+b=3) = (\text{パターンAの確率}) + (\text{パターンBの確率})$$ $$= \frac{2}{16} + \frac{2}{16} = \frac{4}{16} = \bf{\frac{1}{4}}$$
答え: $\frac{15}{4}$
詳しい解説 期待値を求めるには、まず和 $a+b$ がとりうる全ての値と、その確率をまとめた確率分布表を作成します。
ステップ1：$a+b$ がとりうる全ての値を求める
ステップ2：それぞれの値になる確率を計算する
ステップ3：確率分布表を作成する
| $a+b$ の値 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | 1 |
ステップ4：期待値を計算する 期待値は「(値) × (その値になる確率)」を全て足し合わせることで求められます。 $$E(a+b) = \left(2 \times \frac{1}{8}\right) + \left(3 \times \frac{1}{4}\right) + \left(4 \times \frac{3}{8}\right) + \left(5 \times \frac{1}{4}\right)$$分母を8に揃えて計算します。$$= \frac{2}{8} + \frac{6}{8} + \frac{12}{8} + \frac{10}{8} = \frac{2+6+12+10}{8} = \frac{30}{8} = \bf{\frac{15}{4}}$$