【問題】 剰余の定理・整式の割り算
画像の問題文は以下の通りです。
-
整式 $$P\left( x \right)$$ を $$x+2$$ で割ると余りが $$4$$、$$x-1$$ で割ると余りが $$-5$$ であるとき、$$P\left( x \right)$$ を $$x^2+x-2$$ で割った余りを求めよ。
-
整式 $$P\left( x \right)$$ を $$x^2-1$$ で割ると余りが $$2x+4$$、$$x^2-4$$ で割ると余りが $$-x+10$$ であるとき、$$P\left( x \right)$$ を $$x^2+x-2$$ で割った余りを求めよ。
-
整式 $$x^{102}$$ を $$x^2+1$$ で割った余りを求めよ。
⚠️ ここでスクロールを止めてください！ ⚠️
解説を読む前に、まずは紙とペンを用意して、自分の力で答えを出してみましょう。
剰余の定理は「公式を覚えているか」ではなく「式の形を作れるか」が勝負です。 手を動かして、行き詰まるところまでやってみることが大切です。
準備はいいですか？ それでは、解説を始めます。ちゃんと自分の力で解いてみましたか？
【解説】 剰余の定理と式変形の鉄則
こんにちは！スマスクの数学講師です。
今回のテーマは、数学IIの「式と証明」分野から、**剰余の定理（じょうよのていり）**を使った問題です。 この単元は、中間・期末テストはもちろん、大学入試でも頻出の「超重要パターン」です。
最難関大の入試でも、この基礎的な考え方を応用する問題がよく出ます。 多くの生徒がつまずくのは、「何を文字でおいて、何に代入すればいいか」の整理ができなくなる点です。
ポイントはたった一つ。 「割り算の基本等式」を作る ことです。 つまり、
$$ \text{（割られる式）} = \text{（割る式）} \times \text{（商）} + \text{（余り）} $$
この形を必ず最初に書く癖をつけましょう。これさえできれば、あとはパズルを解くようなものです。
1. 基本的な剰余の定理の問題
まずは、割る式 $$x^2+x-2$$ を因数分解してみましょう。
$$ x^2+x-2 = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right) $$
2次式で割った余りは、1次以下の式になるので、求める余りを $$ax+b$$ とおきます。 すると、基本等式は次のように書けます。
$$ P\left( x \right) = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)Q\left( x \right) + ax+b $$
ここで、問題文の条件を使います。
- $$x+2$$ で割ると余りが $$4$$ $$\rightarrow P\left( -2 \right) = 4$$
- $$x-1$$ で割ると余りが $$-5$$ $$\rightarrow P\left( 1 \right) = -5$$
この2つの情報を、先ほどの式に代入して連立方程式を作りましょう。 $$Q\left( x \right)$$ の部分は $$0$$ になって消えるので、計算が楽になりますよ。
2. 余りの情報から必要な値を導く応用問題
今度は少し複雑です。 「$$P\left( 1 \right)$$ はいくつ？」「$$P\left( -2 \right)$$ はいくつ？」という情報が直接書かれていません。 しかし、問題文にはヒントが隠されています。
求めたいのは $$x^2+x-2 = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)$$ で割った余りなので、やはり $$P\left( 1 \right)$$ と $$P\left( -2 \right)$$ の値が知りたい ですよね。
そこで、与えられた2つの条件式を作ってみます。
-
$$x^2-1 = \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$$ で割ると余りが $$2x+4$$
$$ $$
$$ $$
P\left( x \right) = \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)Q_1\left( x \right) + 2x+4
$$ $$
$$ $$
この式に $$x=1$$ を代入すれば、$$P\left( 1 \right)$$ が求まりそうです。
-
$$x^2-4 = \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$$ で割ると余りが $$-x+10$$
$$ $$
$$ $$
P\left( x \right) = \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)Q_2\left( x \right) -x+10
$$ $$
$$ $$
この式に $$x=-2$$ を代入すれば、$$P\left( -2 \right)$$ が求まりそうです。
必要な「材料」を自分で探しに行く、探偵のような視点が必要な問題ですね。
3. 高次式の割り算と虚数の活用
$$x^{102}$$ なんて計算できない！と焦らないでください。 割る式が $$x^2+1$$ であることに注目します。
$$ x^{102} = \left( x^2+1 \right)Q\left( x \right) + ax+b $$
ここでもし、$$x^2+1=0$$ となるような数、つまり $$x^2 = -1$$ となる $$x$$ を代入できれば、$$Q\left( x \right)$$ を消すことができます。 そう、虚数単位 $$i$$ （$$i^2 = -1$$）を使うのが一番早いです。
$$x = i$$ を代入すると、左辺はどうなるでしょうか？
$$ i^{102} = \left( i^2 \right)^{51} = \left( -1 \right)^{51} = -1 $$
これを利用して、係数比較で解いていきます。
【解答】 剰余の定理・次数下げのテクニック
1. 求める余りを $$ax+b$$ とおくと、
$$ P\left( x \right) = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)Q\left( x \right) + ax+b \quad \cdots ① $$
条件より、剰余の定理を用いて
$$ P\left( -2 \right) = 4, \quad P\left( 1 \right) = -5 $$
①に $$x = -2, 1$$ をそれぞれ代入すると
$$ \begin{cases} -2a + b = 4 \ a + b = -5 \end{cases} $$
これを解いて、$$a = -3, b = -2$$ よって、求める余りは
$$ -3x-2 $$
2. 条件より
$$ P\left( x \right) = \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)Q_1\left( x \right) + 2x+4 $$
これより $$P\left( 1 \right) = 2\left( 1 \right) + 4 = 6$$
また、
$$ P\left( x \right) = \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)Q_2\left( x \right) -x+10 $$
これより $$P\left( -2 \right) = -\left( -2 \right) + 10 = 12$$
求める余りを $$ax+b$$ とおくと、$$x^2+x-2 = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)$$ なので
$$ P\left( x \right) = \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)Q\left( x \right) + ax+b $$
$$P\left( 1 \right) = 6$$ より $$a+b=6$$ $$P\left( -2 \right) = 12$$ より $$-2a+b=12$$ これを連立して解くと、$$3a = -6$$ より $$a = -2$$。よって $$b = 8$$。 求める余りは
$$ -2x+8 $$
3. 求める余りを $$ax+b$$ とおくと
$$ x^{102} = \left( x^2+1 \right)Q\left( x \right) + ax+b $$
両辺に $$x = i$$ （ただし $$i^2 = -1$$）を代入すると、$$i^2+1=0$$ より右辺の第1項は消える。 左辺は
$$ i^{102} = \left( i^2 \right)^{51} = \left( -1 \right)^{51} = -1 $$
よって
$$ -1 = ai+b $$
$$a, b$$ は実数であるから、実部と虚部を比較して
$$ a = 0, \quad b = -1 $$
求める余りは
$$ -1 $$
【まとめ】 剰余の定理完全攻略のポイント
- 基本式の徹底: $$P(x) = (\text{割る式}) \times Q(x) + (\text{余り})$$ の形を必ず書く。
- 代入する値の見極め: 「割る式 = 0」となる $$x$$ の値を代入して、商 $$Q(x)$$ を消去する。
- 情報の抽出: 2番のような問題では、既存の式に値を代入して、必要な $$P(\alpha)$$ の値を自分で作り出す。
- 高次式の処理: $$x^2+1$$ で割る場合は、$$x^2 = -1$$ （つまり $$x=i$$）を代入すると計算が劇的に楽になる。
【解き直しのすすめ】 「わかったつもり」を実力に変える
解説を読んで、「なるほど、連立方程式を解くだけか」と安心しませんでしたか？
実は、多くの生徒を見てきましたが、解説を聞いて『わかったつもり』になっても、実際にテストで解こうとすると「あれ？ どっちの式に代入するんだっけ？」「符号はどうなるんだっけ？」と手が止まってしまう子が本当に多いんです。
「解説を読んで理解すること（インプット）」と「自分の力で解けること（アウトプット）」は全く別物です。
特に2番のような問題は、情報の整理ができないとパニックになります。 今すぐ、この画面を閉じてください。 そして、「何も見ずに」 白紙の状態から、自力で正解を導き出せるか、もう一度トライしてみましょう。それができて初めて、あなたの実力になります！
【質問がある方はスマスク先生LINE公式アカウントへ】 数学の悩みを即解決
「なぜここで $$x=i$$ を代入するの？」「似たような応用問題が解けない…」など、数学の悩みがあれば、いつでもLINEで相談してください！ 親身になってお答えします。一緒に苦手を克服しましょう！
