【問題】
練習問題1：高次式の次数下げと分数の計算
1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、次の式の値を求めよ。
$$ \left( 1 \right) \quad \omega^{100} + \omega^{50} + 1 $$
$$ \left( 2 \right) \quad \frac{\omega^2}{1-\omega} + \frac{\omega}{1-\omega^2} $$
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解説を読む前に、まずは紙とペンを用意して、自分の力で答えを出してみましょう。
「 $\omega$ の公式、なんだっけ？」と思い出しながら、まずは手を動かしてみることが大切です。 準備はいいですか？
それでは、解説を始めます。ちゃんと自分の力で解いてみましたか？
【解説】 1の3乗根 $\omega$ の性質 \&SEOキーワード
こんにちは！スマスクの数学講師です。
今回のテーマは、数学IIの「複素数と方程式」分野から、1の3乗根 $ \omega $（オメガ） に関する計算問題です。 この $\omega$ の問題、定期テストや入試で頻出ですが、実はたった2つの性質を使いこなすだけで、魔法のように簡単に解けてしまうんです。
多くの生徒が $\omega^{100}$ のような大きな数字を見た瞬間に「うわっ、計算大変そう…」と引いてしまいますが、それは非常にもったいない！ プロ講師として断言しますが、この単元は**「知っているか知らないか」だけのボーナスステージ**です。
解くための最強の武器（性質）は以下の2つです。これだけは絶対に覚えておきましょう。
- 3乗すると1になる： $$ $$ $$ $$ \omega^3 = 1 $$ $$ $$ $$
- 2次方程式 $x^2+x+1=0$ の解である： $$ $$ $$ $$ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$ $$ $$ $$
この2つを使って、「次数を下げる」ことと「式を簡単にする」ことがポイントです。 それでは、実際に解いていきましょう。
(1) 高次式の次数下げ
$$ \omega^{100} + \omega^{50} + 1 $$
まずは、とてつもなく大きい指数（100乗や50乗）を小さくします（次数下げ）。 ここで使うのが $ \omega^3 = 1 $ という性質です。 3乗のカタマリを作れば、それは全部「1」になって消えてくれます。
-
$ \omega^{100} $ の処理: 100を3で割ると、商が33で余りが1です。つまり、
$$ $$
$$ $$
\omega^{100} = \left( \omega^3 \right)^{33} \times \omega^1 = 1^{33} \times \omega = \omega
$$ $$
$$ $$
なんと、ただの $\omega$ になりました！
-
$ \omega^{50} $ の処理: 50を3で割ると、商が16で余りが2です。つまり、
$$ $$
$$ $$
\omega^{50} = \left( \omega^3 \right)^{16} \times \omega^2 = 1^{16} \times \omega^2 = \omega^2
$$ $$
$$ $$
こちらは $\omega^2$ になりました。
これらを元の式に戻すと、
$$ \omega + \omega^2 + 1 $$
順番を入れ替えると、
$$ \omega^2 + \omega + 1 $$
となります。 ここで、もう一つの性質 $ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $ を思い出してください。 まさにこの形そのものですね！
(2) 分数式の計算と通分
$$ \frac{\omega^2}{1-\omega} + \frac{\omega}{1-\omega^2} $$
分数の足し算なので、まずは通分をしましょう。 分母を揃えるために、お互いの分母を掛け合わせます。
共通の分母は：
$$ \left( 1-\omega \right)\left( 1-\omega^2 \right) $$
これを展開して整理してみましょう。
$$ 1 – \omega^2 – \omega + \omega^3 $$
ここで、$ \omega^3 = 1 $ なので、
$$ 1 – \left( \omega^2 + \omega \right) + 1 = 2 – \left( \omega^2 + \omega \right) $$
さらに、$ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $ より、$ \omega^2 + \omega = -1 $ ですね。これを代入すると、
$$ 2 – \left( -1 \right) = 3 $$
なんと、分母はただの「3」 になりました！
次に分子を計算します。たすき掛けのように掛け合わせます。
$$ \text{分子} = \omega^2\left( 1-\omega^2 \right) + \omega\left( 1-\omega \right) $$
展開すると、
$$ \omega^2 – \omega^4 + \omega – \omega^2 $$
$\omega^2$ と $-\omega^2$ で消えますね。残るのは、
$$ -\omega^4 + \omega $$
ここで、$ \omega^4 $ の次数を下げます。$ \omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega $ なので、
$$ -\omega + \omega = 0 $$
分子は「0」 になりました！
よって、答えはどうなるでしょうか？
【解答】
$\omega$ は1の3乗根のうち虚数であるものなので、以下の性質を持つ。
$$ \omega^3 = 1, \quad \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$
$ \left( 1 \right) $
$$ \omega^{100} = \left( \omega^3 \right)^{33} \cdot \omega = 1^{33} \cdot \omega = \omega $$
$$ \omega^{50} = \left( \omega^3 \right)^{16} \cdot \omega^2 = 1^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2 $$
よって、
$$ \omega^{100} + \omega^{50} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$
答え： $ 0 $
$ \left( 2 \right) $ 通分して計算する。
$$ \begin{align} \text{与式} &= \frac{\omega^2\left( 1-\omega^2 \right) + \omega\left( 1-\omega \right)}{\left( 1-\omega \right)\left( 1-\omega^2 \right)} \ &= \frac{\omega^2 – \omega^4 + \omega – \omega^2}{1 – \omega^2 – \omega + \omega^3} \ &= \frac{-\omega^4 + \omega}{1 – \left( \omega^2 + \omega \right) + 1} \end{align} $$
ここで、$ \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega $、$ \omega^2 + \omega = -1 $、$ \omega^3 = 1 $ を用いると、
$$ \begin{align} \text{与式} &= \frac{-\omega + \omega}{1 – \left( -1 \right) + 1} \ &= \frac{0}{3} \ &= 0 \end{align} $$
答え： $ 0 $
【まとめ】 \&SEOキーワード
- **$ \omega $の2大性質**:$ \omega^3 = 1 $ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を必ず最初に書き出す。
- 次数下げ: 指数が大きいときは、3で割った余りの次数に変換する（$ \omega^3=1 $ の利用）。
- 値の代入: $\omega^2 + \omega = -1$ などの変形を利用して、式を数字に置き換えていく。
【解き直しのすすめ】 \&SEOキーワード
解説を読んで「なんだ、両方とも答えは0か。簡単だな」と思いませんでしたか？
実は、「答えが0や1などのきれいな数字になる」と知ってしまった後では、計算練習の効果が半減してしまいます。 試験本番では、答えが予測できない状態で、正確に $\omega^4$ を処理したり、符号ミスなく通分したりしなければなりません。
多くの生徒が、ここでの「符号ミス」や「$ \omega^2 + \omega $ の変換ミス」で点数を落としています。
今すぐこの画面を閉じて、白紙の状態からもう一度計算式を書いてみてください。 特に（2）の通分の過程を、途中で手を止めずにスラスラ書ききれるかどうかが勝負です。 それができて初めて、あなたの実力になります！
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「$ \omega $ の他のパターンの問題も解きたい！」「分数の計算でいつも間違えてしまう…」など、数学の悩みがあれば、いつでもLINEで相談してください！ 親身になってお答えします。一緒に苦手を克服しましょう！
